Inequalities related to liftings and applications

We present two inequalities for liftings of smooth maps from the torus Td into the unit circle S1. Using these inequalities, we answer a question of J. Bourgain, H. Brezis, and P. Mironescu in [J. Bourgain, H. Brezis, P. Mironescu, Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005) 529–551] and establish an estimate of liftings in the spirit of R.R. Coifman and Y. Meyer [R.R. Coifman, Y. Meyer, Une généralisation du théorème de Calderon sur l’intégrale de Cauchy, in: Fourier Analysis, in: Proc. Sem., El Escorial, vol. 1, Asoc. Mat. Espa nola, Madrid, 1980, pp. 87–116]. To cite this article: H.-M. Nguyen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Inégalités relatives aux relèvements et applications. Nous présentons deux inégalités pour des relèvements des applications régulières du tore Td dans le cercle unité S1. Ces inégalités nous permettent de répondre à une question de J. Bourgain, H. Brezis, et P. Mironescu dans [J. Bourgain, H. Brezis, P. Mironescu, Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005) 529–551] et d’établir une estimation des relèvements dans l’esprit de R.R. Coifman et Y. Meyer [R.R. Coifman, Y. Meyer, Une généralisation du théorème de Calderon sur l’intégrale de Cauchy, in : Fourier Analysis, in : Proc. Sem., El Escorial, vol. 1, Asoc. Mat. Espa nola, Madrid, 1980, pp. 87–116]. Pour citer cet article : H.-M. Nguyen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée J. Bourgain et H. Brezis [1] (voir aussi [2]) ont prouvé Théorème 1. Soient d 1 un entier, T le tore de dimension d , ψ ∈ C∞(Td ,R), et g = e . Alors il existe ψ1,ψ2 ∈ C∞(Td ,R) telles que ψ =ψ1 +ψ2, |ψ1|W 1,1 C|g|2 H 1 2 et |ψ2| H 1 2 C|g| H 1 2 , pour une certaine constante C > 0 qui ne dépend que de d . E-mail address: [email protected]. 1631-073X/$ – see front matter © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2008.07.026 958 H.-M. Nguyen / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 957–962 Dans cette Note, on considère la semi-norme suivante de l’espace W(T) (0 < s < 1 et p > 1) défini par (1) et on note H 1 2 =W 2 ,2. Question. Soient d 1 un entier, T le tore de dimension d , p > 1, q = p p−1 , ψ ∈ C∞(Td ,R), et g = e . Est-ce qu’il existe ψ1,ψ2 ∈ C∞(Td ,R) telles que ψ =ψ1 +ψ2, |ψ1|W 1,1 C|g| W 1 p ,p et |ψ2| W 1 p ,p C|g| W 1 q ,q , pour une certaine constante C > 0 qui ne dépend que de d et de p ? Le but principal de la Note est de donner une réponse positive à cette question au cas d = 1. En fait, on prouve : Théorème 2. Soient p > 1, q = p p−1 , ψ ∈ C1(T1,R), et g = e . Alors il existe ψ1,ψ2 ∈ C∞(T1,R) telles que ψ =ψ1 +ψ2, |ψ1|W 1,1 CT√3(g) et |ψ2| W 1 p ,p C|g| W 1 q ,q , pour une certaine constante C > 0 qui ne dépend que de d et de p. Ici Tg est défini par (2). Un autre résultat de la Note est Théorème 3. Soient d 1, p > 1, q = p p−1 , ψ ∈ C1(Td ;R), et g = e . Supposons que |g|BMO = β < 1. Alors il existe une constante C > 0 qui ne depend que de d et de p telle que |ψ | W 1 p ,p C 1 − β |g|W 1 p ,p . Ici la BMO-semi-norme est définie par (4).